Division de (9n + 13) par (4n + 3) - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Déterminer, en fonction de \(n\) , le reste dans la division euclidienne de \(9n+13\) par \(4n+3\) .

Solution

On note \(r\) le reste dans la division euclidienne de \(9n+13\) par \(4n+3\) . On remarque que : \(9n+13=2(4n+3)+n+7\) .
Or \(n+7 \geqslant 0\) et \(n+7<4n+3 \ \Longleftrightarrow \ 3n>4 \ \Longleftrightarrow \ n>1\) .
Ainsi, \(r=n+7 \ \Longleftrightarrow \ n>1\) .

Il reste à traiter les cas \(n=0\) et \(n=1\) :

• si \(n=0\) , alors \(9n+13=13\) et \(4n+3=3\) ;
  et on a \(13=3 \times 4+1\) donc \(r=1\) ;
• si \(n=1\) , alors \(9n+13=22\) et \(4n+3=7\) ;
  et on a \(22=7 \times 3+1\) donc \(r=1\) .

En résumé, concernant la division euclidienne de \(9n+13\) par \(4n+3\) :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline n& 0& 1& \geqslant 2\\ \hline\text{Quotient}& 4& 3& 2\\ \hline\text{Reste}& 1& 1& n+7\\ \hline\end{array}\end{align*}\)